Anh để ý trên mục Toán lớp 8 có một câu hỏi được nhiều người đăng cùng lúc, nên anh xin trả lời câu hỏi đó.
Đề: Cho \(1\le a,b,c\le3\) và \(a+b+c=6\) . Tìm \(max\) của biểu thức \(f\left(a,b,c\right)=a^2+b^2+c^2\).
Trong đó kí hiệu \(f\left(x,y,z\right)\) là đa thức khi thay \(a=x,b=y,c=z\), tức là \(f\left(x,y,z\right)=x^2+y^2+z^2\).
-----
Nhận xét: Trong 3 số \(a,b,c\) phải có số lớn hơn bằng 2. Không mất tính tổng quát gọi số đó là \(a\).
Khi đó \(b+c-1\le5-a=3\)
Ta có \(f\left(a,b,c\right)=a^2+b^2+c^2\) và \(f\left(a,b+c-1,1\right)=a^2+\left(b+c-1\right)^2+1\).
Ta sẽ CM \(f\left(a,b,c\right)\le f\left(a,b+c-1,1\right)\).
Biến đổi tương đương ta được \(b^2+c^2\le b^2+c^2+2bc-2b-2c+2\Leftrightarrow\left(b-1\right)\left(c-1\right)\ge0\).
Điều này đúng. Vậy \(f\left(a,b,c\right)\le f\left(a,b+c-1,1\right)\).
Nhận thấy do \(a+b+c=6\) nên \(f\left(a,b+c-1,1\right)=f\left(a,5-a,1\right)=a^2+\left(5-a\right)^2+1=2\left(a^2-5a+13\right)\).
Ta sẽ tìm max của biểu thức này. Giá trị max đó là \(14\), xảy ra khi \(a=2\)
Vậy \(f\left(a,b,c\right)\le14\). Đẳng thức xảy ra tại \(a=2,b=3,c=1\).
------
Ý tưởng tương tự trên sẽ giúp các em làm được bài toán sau:
Cho \(0\le a,b,c\le2\) thoả \(a+b+c=3\). Tìm min của biểu thức \(ab+bc+ca\).
À có ai không hiểu gì thì hỏi nha! Còn ai muốn click "đúng" cho anh thì cho anh cảm ơn!
Cách khác cho bài đầu:
Ta có: \(a+b=6-c\le5\)
\(a^2+b^2+c^2=a.a+b.b+c.c\)
\(=\left(a-b\right)a+\left(b-c\right)\left(a+b\right)+c\left(a+b+c\right)\)
\(\le\left(a-b\right).3+5\left(b-c\right)+6c\)
\(=3a+2b+c=\left(a+b+c\right)+a+\left(a+b\right)\)
\(\le6+3+5=14\)
Đẳng thức xảy ra khi \(\left(a;b;c\right)=\left(3;2;1\right)\) và các hoán vị của nó.
Cách này dường như ez hơn ấy nhỉ? Mà đúng không ta:3